در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود می‌آید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.

در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N یا نمایش می‌دهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.

اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است.

اعداد صحیح به مجموعه اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر گفته می‌شود. این مجموعه را در ریاضی معمولا با Z یا (ابتدای کلمه zahlen که در زبان آلمانی به معنی اعداد است) نشان می‌دهند. مجموعه اعداد صحیح، مانند مجموعه اعداد طبیعی، یک مجموعه شمارای نامتناهی ست.

شاخه‌ای از ریاضیات که به مطالعه اعداد صحیح می پردازد، نظریه اعداد نام دارد.

اعداد گویا (یا به زبان دیگر، اعداد کسری) حاصل تقسیم دو عدد صحیح هستند، به شرطی که عدد دوم صفر نباشد. هر عدد گویا را به شکل a/b یا می‌توان نوشت (که a و b اعداد صحیح اند).

در ریاضیات مجموعه اعداد گویا را با نمایش می‌دهند. مجموعه اعداد گویا مجموعه‌ای شمارا است. این مجموعه، همچنین، زیرمجموعه‌ای چگال (dense) از مجموعه? اعداد حقیقی است.

میدان تمام اعداد گویا و گنگ را اعداد حقیقی گویند و آن را با نمایش میدهند. اعداد حقیقی را میتوان با اضافه کردن عدد موهومی() بسط داد. اعدادی به فرم a + bi که در آن a و b هر دو عدد حقیقی هستند را اعداد مختلط مینامند.

اعداد گنگ چگونه به‌دست ما رسیده‌اند؟

واقعیت این است که ریاضیات مقدماتی (آن چه در دوره‎های قبل از ورود به موسسات آموزش عالی ارایه می‌گردد) آن چنان به‌سادگی وارد علم نشده‌اند. هر بخش آن مستلزم هزاران سال کار فکری بشر بوده است و هیچ گاه اتفاقی یا در واقع بدون زحمت به‌دست ما نرسیده است. اطلاع از تاریخ این امکان را در اختیار ما می‌گذارد که حداقل قدر دانش را دانسته و با الفاظ ریاضیات درس خوبی نیست یا ریاضیات را دوست ندارم، به اینگونه ابراز احساس در برابر آن نپردازیم.

اعتقاد داریم آن چه را لازم است باید انجام دهیم تا ریاضیات چهره‌ی زیبای خود را به همگان نشان دهد. اعداد صحیح تجربه‌هایی هستند که از روند شمارش دسته‌های متناهی اشیا ناشی می‌شوند. نیازهای زندگی روزمره ما را ملزم می‌سازند که علاوه بر شمارش اشیا منفرد، کمیات مختلفی از قبیل طول، وزن و زمان را اندازه بگیریم. برای برآوردن این احتیاجات ساده‌ی اندازه‌گیری، کسر‌ها را لازم داریم، زیرا ‌به‌عنوان مثال، به‌ندرت پیش می‌آید که طولی شامل عده‌ی دقیقا صحیحی از واحدهای خطی باشد. بنابراین، اگر عدد گویا را به‌صورت خارج‌قسمت دو عدد صحیح تعریف کنیم، p/q، که در آن q≠0 باشد، این دستگاه اعداد گویا، از آن جا که شامل همه‌ی اعداد صحیح و کسرهاست، برای مقاصد عملی اندازه‌گیری، کفایت خواهد کرد. (علوم براساس قراردادها استوارند. اصولی را پذیرفته، سپس بر اساس آن‌ها نیازهای آینده را نتیجه‌گیری می‌کنیم. این به‌نظر بهترین راه می‌آید.)

اعداد گویا تعمیم هندسی ساده‌ای دارند (که به آن اشاره نمی‌کنیم، در تمام نوشته‌جات مقدماتی می‌توان مطالب کافی در این مورد پیدا کرد). ریاضی‌دانان اولیه تصور می‌کردند تمام نقاط این محور توسط اعدادگویا به‌کار گرفته می‌شوند. این تصور درست نبوده است. اطلاع از این که نقاطی بر خط وجود دارند که متناظر با هیچ عدد گویایی نیستند، قاعدتا می‌بایست تکان‌دهنده بوده باشد. این کشف یکی از بزرگ‌ترین دستاوردهای فیثاغورس بود. فیثاغورسیان، به‌ویژه، نشان دادند که هیچ عدد گویایی نظیر نقطه p بر روی خط به‌طوری که فاصله opا(اo را مبدا می گیریم) در آن مساوی قطر مربعی به طول واحد باشد، وجود ندارد. اکنون لازم بود اعداد جدیدی ابداع شوند که متناظر با چنان نقاطی باشند، و چون این اعداد نمی‎توانند گویا باشند اعداد گنگ نام یافتند. کشف آن‌ها یکی از برجسته‌ترین حوادث را در کل تاریخ ریاضیات مشخص می‌کند.

کشف وجود اعداد گنگ، برای فیثاغورسیان حیرت آور و نگران‌کننده بود. قبل از همه، این کشف ضربه‌ی مهلکی بر فلسفه‌ی فیثاغورسی، که همه‌چیز را به اعداد صحیح وابسته می‌دانست، تلقی شد. دیگر آن که، این مطلب مغایر با عقل سلیم به نظر می‌آمد، زیرا به‌طور شهودی حس می‌شد که هر کمیتی با یک عدد گویا قابل بیان است. همتای هندسی آن نیز همان قدر تکان‌دهنده بود، زیرا چه کسی می‌توانست در این تردید کند که به‌ازای هر دو قطعه خط مفروض می‌توان خط سومی، هر چند بسیار بسیار کوچک، پیدا کرد به‌طوری که به تعداد دفعات صحیح در هر یک از دو خط مفروض بگنجد؟

به‌عنوان این دو قطعه خط، یک ضلع s و یک قطر d از مربعی را اختیار کنید. حال اگر قطعه خط سومی مانند t وجود داشته باشد که به‌تعداد دفعات صحیح در s و d بگنجد. خواهیم داشت:

که در آن a, b اعداد صحیح مثبت هستند.
اما اگر d=s√2 باشد، که از آن نتیجه می شود at=bt√2 یعنی a=b√2 و یا √2=a/b ، پس 2√ یک عدد گویا است.

ولی ار آنجا 2√ نمی‌تواند گویا باشد به وضوح تناقض داریم! به این ترتیب، برخلاف برداشت شهودی ما، قطعه خط هایی نامتوافق وجود دارند. یعنی قطعه خط‌هایی که دارای مقیاس اندازه‌گیری مشترکی نیستند.

تا مدت‌ها 2√ عدد گنک شناخته شده بود (این امکان وجود دارد که (√5-1)/2 که نسبت ضلع پنج ضلعی منتظم به قطر آن است، اولین عدد گنگ شناخته شده باشد، اما احتمالش کمتر از مقدم بودن بر گنگ بودن 2√ است که ما 2√ را به عنوان اولین عدد گنگ شناخته شده پذیرفته ایم).

بعدها به‌گفته‌ی افلاطون، تئودوروس کورنه‌یی (حدود 425 قبل از میلاد) نشان داد که 3√ ، 5√، 7√، 8√، 10√، 11√، 12√، 13√، 14√، 15√، 17√ نیز گنگ هستند. سپس در حدود 370 سال قبل از میلاد این رسوایی توسط ائودوکسوس زیرک، شاگرد افلاطون و آرخوتاس، که از فیثاغورسیان بود، با ارائه‌ی تعریف جدیدی از تناسب مرتفع گردید. بررسی ماهرانه ائودوکسوس در مورد کمیت‌های نامتوافق در مقاله‌ی پنجم اصول اقلیدس اساسا با توصیف اعداد گنگ که به‌وسیله ریچارد ددکیند، ریاضی‌دان آلمانی، در سال 1872 داده شد، منطبق است. مطالعه مثلث‌های متشابه در کتاب‌های هندسه‌ی دبیرستانی امروزی هنوز برخی از مشکلات و ظرافت‌هایی را که به‌واسطه‌ی کمیت‌های نامتوافق به‌میان آمده‌اند، نشان می‌دهد.