نغمه ی عاشقی
 
قالب وبلاگ
لینک دوستان

همانند حل معادلات درجه? اوّل برای پیدا کردن نقاط تقاطع معادله با محور xها صورت کلی معادلات درجه دوم را نوشته و عرض آن یعنی y را برابر صفر قرار می‌دهیم، پس داریم:

ax^2+bx+c = 0

سپس با حل معادله‌ی فوق مقادیر x را به‌دست می‌آوریم. توجّه کنید که a نمی‌تواند برابر با صفر باشد زیرا در این صورت معادله از نوع درجه‌ی اوّل می‌شود. پس با شرط a\neq 0 معادله را حل می‌کنیم:

a(x^2+ {b \over a} x+ {c\over a}) = 0

اگر ضرب چند عبارت برابر صفر شود، به این معنی است که حداقل یکی از عبارت‌ها صفر است، و از آنجا که ما a \neq 0 را شرط اوّلیه قرار دادیم، پس آخرین عبارت مانده، یعنی همان عبارت داخل پرانتر صفر است، که داریم:

x^2+ {b \over a} x+ {c\over a} = 0

برای حل معادله آن را تبدیل به مربع کامل می‌کنیم:

( x^2 + {b \over a} x ) + {c \over a} = 0

( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2 \over 4a^2} + {c \over a} = 0

( x + {b \over 2a} )^2 - {b^2-4ac \over 4a^2} = 0

( x + {b \over 2a} )^2 = {b^2-4ac \over 4a^2}

حالا از طرفین معادله جذر می‌گیریم تا مقدار x را به‌دست آوریم:

( x + {b \over 2a} ) = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a^2}

x = \pm\sqrt{b^2-4ac \over 4a^2} - {b \over 2a}

x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

در نتیجه معادله دارای دو ریشه? زیر می‌باشد:

x_1 = {-b + \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

x_2 = {-b - \sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

معمولاً عبارت \sqrt{b^2-4ac} را برابر با حرف دِلتای بزرگ \Delta نمایش می‌دهند، دِلتا در ریاضیات نماد فاصله یا تغییرات است.

طبق قضیه? تثلیث[نیازمند منبع] دلتا می‌تواند مقادیر زیر را اختیار کند:

  • الف) \Delta> 0 که در آن صورت فاصله? بین دو ریشه مثبت است، پس معادله دو ریشه? مختلف دارد.
  • ب) \Delta = 0 که در آن صورت فاصله? بین دو ریشه صفر است، پس هر دو جواب معادله یکی هستند و معادله اصطلاحاً ریشه? مضاعف دارد.
  • ج) \Delta <0 که در آن صورت فاصله? بین دو ریشه عددی منفی است و همان‌طور که می‌دانید فاصله نمی‌تواند[نیازمند منبع] عددی منفی باشد، و از سوی دیگر از آنجا که \Delta در زیر رادیکالی با فرجه? زوج است تنها می‌تواند مقادیر بزرگ‌تر یا مساوی صفر را اختیار کند.

حالت‌های خاص و نکات معادلات درجه? دوم

در معادله? کلی ax^2+bx+c = 0

1) اگر c=0 باشد، یک ریشه صفر 0 و دیگری برابر با {-b \over a } است.
در معادله‌ی زیر، شرط است a\neq 0 و c = 0 باشد.

ax^2+b+c = ax^2+bx+0 = 0

و چون c=0 است پس به‌جای ax^2+bx+0 = 0 می‌نویسیم:

ax^2+bx = 0

و در ادامه:

a(x^2+ {b \over a} x) = 0

x(x+{b \over a}) = 0

x_1 = 0  ,  x_2 = {-b \over a}

2) اگر حاصل‌جمع a, b, c برابر صفر شود، یعنی a+b+c=0 در این صورت یکی از ریشه‌ها +1 و دیگری c\over a خواهد بود.

اثبات (شرط: a\neq0 و a+b+c=0):

x = {-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2 a}

طبق فرض : a+b+c=0 پس : a+c=-b

x = {(a+c)\pm\sqrt{(a+c)^2-4ac} \over 2 a}

از نظر جبری ریشه‌ی مضاعف ریشه‌ای است که زوج بار عبارت را صفر کند و ریشه‌ی ساده ریشه‌ای است که فرد بار یک عبارت را صفر کند ((البته در معادلاتی نظیر (x-1)^2 همین تعریف کافی است ولی در دو طرف ریشه ساده علامت تابع فرق می‌کند ولی در دو طرف ریشه مضاعف علامت تابع یکسان است از نظر هندسی اگر بر محور طول ها طوری مماس شود که دو طرف نقطه در یک طرف محور طول ها بیفتد ریشه مضاعف داریم این نکته را فراموش نکنید که اگر ریشه معادلات درجه دو مضاعف باشد آن معادله مربع کامل است.

x = {(a+c)\pm\sqrt{(a^2+c^2+2ac)-4ac} \over 2 a}

x = {(a+c)\pm\sqrt{a^2+c^2-2ac} \over 2 a}

x = {(a+c)\pm\sqrt{(a-c)^2} \over 2 a}

x = {(a+c)\pm{(a-c)} \over 2 a}

x_1 = {(a+c)+{(a-c)} \over 2 a}   ,     x_2 = {(a+c)-{(a-c)} \over 2 a}

x_1 = {2a \over 2 a} = 1   ,     x_2 = {2c \over 2 a} = {c \over a}

3) a-b+c = 0 : یک ریشه -1 و دیگری -c\over a خواهد بود

اثبات (شرط : a\neq 0 و a-b+c=0) همانند روش بالا اثبات خواهد شد.

4) اگر دلتای \Delta ریشه‌های یک معادله برابر صفر باشد، معادله تنها دارای یک جواب -b \over 2 a خواهد بود. (ریشه‌ی مضاعف خواهد داشت، یعنی هردو x جواب معادله، باهم برابر می‌شوند.)

اثبات ( شرط : a\neq 0 و \Delta=0 )

x = {-b\pm\sqrt{\Delta} \over 2 a}

x = {-b\pm\sqrt{0} \over 2 a}

x = {-b \over 2 a}

نکته: همانطور که می دانید در صورتی که معادله دارای یک ریشه باشد یعنی تنها یک نقطه? تماس با محور xها دارد، در این صورت آن نقطه تنها می‌تواند نقطه? مینیمم یا ماکسیمم باشد، پس داریم :

ax^2+bx+c = 0

با گرفتن مشتق داریم:

2ax+b = 0

2ax = -b

x = {-b\over 2a}

همچنین جالب است بدانید مجموع دو ریشه در معادله? درجه دوم   -b\over a است. ضمن اینکه ضرب دو ریشه? معادله? درجه دوم از رابطه?  c\over a به‌دست می‌آید.


[ یکشنبه 92/11/6 ] [ 11:21 عصر ] [ دانشجوی ریاضی ] [ نظرات () ]
.: Weblog Themes By WeblogSkin :.
درباره وبلاگ

موضوعات وب
امکانات وب


بازدید امروز: 32
بازدید دیروز: 55
کل بازدیدها: 843709